الصف السادس - رياضيات -بواسطةمسترأشرف نظمى

تعريف الجسم : - هو كل ما يشغل حيزا من الفراغ
مثال:- الكرة-– الكتاب- ثمرة البطاطس-علبة الكبريت
أنواع المجسمات

جسم ليس له شكل معين جسم له شكل هندسي متميز
ثمرة البطاطس متوازي المستطيلات –المكعب
متوازي المستطيلات .
هو جسم هندسي له ستة أوجه كل منها على شكل مستطيل وكل وجهين متقابلين متساوين فى المساحة.


المكعب .
هو جسم هندسي له ستة أوجه متطابقة , والقطعة المستقيمة الناتجة من تقاطع كل وجهين تسمى حرفا .

وجه حرف




ما المقصود بحجم الجسم ؟


في الشكل السابق جسم هندسي مكون من علب الكبريت الفارغة
عدد علب الكبريت الفارغة هي حجم هذا الجسم وهى تمثل مقدار ما يشغله هذا الجسم من حيزفى الفراغ .

السنتيمتر المكعب كوحدة لقياس الحجم
لقياس حجم المجسم يمكن اختيار اى وحدة للقياس مثل علب الكبريت وغيرها ولكن من الضروى أن يكون هناك وحدات موحدة للقياس ومنها السنتيمتر المكعب.
السنتيمتر المكعب :هو مكعب طول حرفه يساوى واحد سنتيمتر ويرمز له بالرمز 1سم3.
حجم الجسم بالسنتيمترات المكعبة :هو عدد السنتيمترات المكعبة التي يحتوى عليها هذا الجسم .


متوازى المستطيلات : المكعب :
1 – له 6 أوجه كل وجه على شكل مستطيل 1– له 6 أوجه كل وجه على شكل مربع
2 – له 8 رؤوس ، و 12 حرف 2 - له 8 رؤوس ، و 12 حرف
3 – له 3 أبعاد هي الطول ، العرض ، الارتفاع 2- ثلاث أبعاد متساوية فى الطول
حجم متوازى المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع
حجم متوازى المستطيلات = مساحة القاعدة × الارتفاع
حجم المكعب = طول الحرف × نفسه × نفسه

الحجم الحجم
الطول العرض الارتفاع مساحة القاعدة الرتفاع

أمثلة : 1 – متوازي مستطيلات أبعاده 8 ، 5 ، 6 سم احسب حجمه .
2 – اوجد حجم متوازي المستطيلات الذي مساحة قاعدته 25 سم2
و ارتفاعه 7 سم .
3 – مكعب طول حرفه 9 سم احسب حجمه .
4 – أكمل الجداول التالية :
الطول العرض الارتفاع الحجم
15 سم 8 سم 6 سم
12 سم 5 سم 600 سم3
20 سم 10 سم 800 سم3
6 سم 5 سم 210 سم3

مساحة القاعدة الارتفاع الحجم
250 سم2 12 سم
100 سم2 700 سم3
15 سم 3000 سم3

طول حرف المكعب مجموع أطوال الأحرف الحجم
8 سم
60 سم
27 سم3
7 – صندوق على شكل متوازي مستطيلات أبعاده 35 ’ 40 ’ 22 سم يراد تعبئته بقطع من الصابون كل قطعة على شكل مكعب طول حرفه 5 سم احسب عدد قطع الصابون السليمة التي تملأ الصندوق .
8– مكعب من المعدن طول حرفه 12 سم صهر و حول إلى متوازي مستطيلات أبعاد قاعدته 18 سم ، 6 سم احسب ارتفاعه .
1. السؤال الثاني :-
تخير الإجابة الصحيحة مما بين القوسين:-
1. مكعب طول حرفه 5سم فان مساحة وجهه =--------------
( 5سم 2– 15 سم2- 25 سم2 – 125سم2 )
2. عدد أوجه متوازي المستطيلات = ----------- ( 4 – 12 – 6 – 2 )
3. السنتيمتر المربع هو وحدة قياس --------- ( الطول – الحجم – المساحة – السعة )
4. عدد المكعبات في الشكل المقابل = --------- ( 4 – 16 – 9 – 12 )
5. متوازي مستطيلات حجمه 36 سم 3 وقاعدته مربعة طول ضلعها 3سم فان ارتفاعه = --------- (12 سم – 108 سم – 4 سم – 39 سم )
6. السنتيمتر المكعب هو مكعب طول حرفه = ------- سم
( 10سم -1 سم – 100سم – 100سم )
7. مكعب مجموع أطوال أحرفه 108 سم فان طول الحرف = -------
( 45 سم -54 سم – 12 سم – 9 سم )
8. مكعب طول حرفه = 3 سم فان حجمه = ----- سم 3
(9سم3 – 12 سم 3 - 27 سم 3 – 6 سم 3 )
9. حجم متوازي المستطيلات = -------- × الارتفاع
( محيط القاعدة – مساحة القاعدة – الطول – العرض )
10. مساحة قاعدة متوازي مستطيلات حجمه 180 سم 3 وارتفاعه 9 سم =--------
( 20 سم2 -1620 سم2- 189 سم2 – 171 سم2 )
11. وجه المكعب على شكل ------ ( مستطيل – مربع - مثلث – دائرة )
السؤال الثالث:- اوجد ناتج كل مما ياتى:-
(1) أيهما اكبر حجما متوازي مستطيلات أبعاده 12 , 6, 8 سنتيمترا ت أم مكعب طول حرفه 9 سم ؟
(2) احسب مساحة قاعدة متوازي مستطيلات ارتفاعه 10سم وحجمه 150 سم 3 ؟
(3) صندوق أبعاده الداخلية 30 ،20، 10 من السنتيمترات يراد تعبئته بقطع من الصابون كل منها على شكل مكعب طول حرفه 5 سم . اوجد عدد قطع الصابون التي يمكن أن تعبئ داخل الصندوق ؟
(4) مكعب حجمه يساوى 125سم3 احسب مساحة وجهه؟
(5) احسب حجم مكعب مجموع أطوال أحرفه 144 سم ؟
(6) احسب مساحة وجه المكعب الذي مجموع أطوال أحرفه 120 سم ؟



وحدات قياس السعة
المليمتر المكعب هو حجم مكعب طول حرفه 1 مليمتر ويرمز له بالرمز 1مم3 .
السنتيمتر المكعب هو حجم مكعب طول حرفه 10 مليمتر ويرمز له بالرمز 1سم3.
الديسيمتر المكعب (اللتر) هو حجم مكعب طول حرفه 10سم ويرمز له بالرمز1ديسم 3 .
المتر المكعب هو حجم مكعب طول حرفه 100 سنتيمتر ويرمز له بالرمز 1 م 3.
العلاقة بين وحدات الحجوم
1000 1000 1000
متر مكعب ديسيمتر مكعب ( اللتر) سنتيمتر مكعب مليمتر مكعب
0.001 0.001 0.001
مليمتر مكعب سنتيمتر مكعب ديسيمتر مكعب ( اللتر) متر مكعب
( تمرين 2)
السؤال الأول :-
تخير الإجابة الصحيحة مما بين القوسين:-
الديسيمتر المكعب هو وحدة قياس -------- ( السعة – الطول – المساحة – الاراضى )
سعة الإناء تقيس حجمه من -------- ( الخارج – الجانب – الداخل – الأعلى )
اللتر = ------- ديسم 3 (10 – 100 – 1 - 1000 )
لقياس السعة نستخدم وحدة --------------- ( المتر – السم – الديسم - اللتر )
1سم3 =---------------- لتر (1000 – 0.001 -10 – 100000 )
48 ديسم 3 = ----------- لتر ( 0.048 – 480- 48 – 48000 )
1.75 لتر = ------------ سم 3 ( 175 – 1750- 17.5 - 0.175 )
د- إناء على شكل مكعب طول حرفه من الداخل 10 سم فان سعته = ------- لتر
(1000 – 100 - 1 - 0.01 )
السؤال الثاني :- أكمل :-
أ- 0.36 م3 = ------------- ديسم3 ب- 5.3 لتر = -------------- م3
جـ- 23 ديسم 3 = --------------- م3 د- 3600 سم3 = -------------- م3
هـ- 1600 مم3 = -------------- سم3
السؤال الثاث :- اوجد ناتج كل مما ياتى:-
(1) تاجر لديه 48 لتر من العسل يريد وضعها فى 12صفيحة من نفس النوع فإذا كانت قاعدة الصفيحة على شكل مربع محيطه 32 سم اوجد ارتفاع العسل في كل صفيحة ؟
(2)قطعة من المعدن على شكل مكعب طول حرفه 20سم صهرت وتحولت إلى متوازي مستطيلات قاعدته على شكل مستطيل مساحته 80 سم 2 . احسب ارتفاعه بالأمتار ؟
(3)صندوق من الزجاج بدون غطاء أبعاده من الخارج 68 سم , 25 سم , 40سم مصنوع من مادة سمكها 2 سم اوجد سعة الصندوق لأقرب لتر ؟





المساحة الكلية للمكعب = مساحة وجه واحد × 6
المساحة الجانبية للمكعب = مساحة وجه واحد ×4
مساحة وجه المكعب = طول الحرف × طول الحرف





مساحة المربع = طول الضلع × طول الضلع
مساحة المستطيل = الطول × العرض
محيط المربع = طول الضلع × 4
محيط المستطيل = ( الطول + العرض ) × 2
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = مجموع مساحة الأوجه الجانبية
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة ×الارتفاع
محيط القاعدة = المساحة الجانبية ÷ الارتفاع
الارتفاع = المساحة الجانبية ÷ محيط القاعدة
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = مجموع مساحة الأوجه كلها
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدتين



1- متوازى مستطيلات حجمه 960 سم2 وبعدا قاعدته 10، 6 من السنتيمترات. احسب ارتفاع متوازى المستطيلات وكذلك مساحته الجانبية.
2- مجموع أطوال أحرف مكعب 48سم أوجد مساحته الجانبية و الكلية ؟
3- مكعب مساحته الكلية 3174 سم2 احسب طول حرفه و حجمه ؟
4- مكعب حجمه 400 سم3 أوجد مساحته الكلية ؟
5- متوازي مستطيلات مساحته الجانبية 700 سم2 أوجد محيط قاعدته إذا كان ارتفاعه
14 سم . وإذا كان طوله 15سم احسب مساحته الكلية ؟
6- متوازي مستطيلات بعدا قاعدته 3؛ 6 متر وارتفاعه 9 متر أوجد النسبة بين مساحته الكلية و الجانبية ؟
7- متوازي مستطيلات قاعدته مربعة طول ضلعها 27 سم وارتفاعه 9سم أوجد حجمه و مساحته الكلية ؟


العدد المنتسب هو عدد ينتسب لوحدة قياس معينة
وحدات القياس :
الأطوال الزمن
الكيلو متر (كم ) = 1000متر السنة = 12 شهرا
المتر (م) = 100 سم الأسبوع = 7 أيام
المتر (م) = 10 ديسم اليوم = 24 ساعة
الديسمتر ( ديسم ) = 10 سم الساعة = 60 دقيقة
السنتيمتر ( سم ) = 10 مم الدقيقة = 60 ثانية
الأوزان الأراضي
الطن = 1000 كجم الفدان = 24 قيراط
الكيلو جرام (كجم )= 1000جم القيراط = 24 سهما

(1)
اجمع :-
ثانية دقيقة ساعة
32 30 15
+ 26 28 3
+ 47 50 12
105 108 30 ( 105 -60 ثانية )= 45 ثانية
45 109 30 ( 108 دقيقة+ 60 ثانية )= 109 دقيقة
45 49 31 (109 دقيقة – 60 دقيقة )= 49 دقيقة
( 30 ساعة + 60 دقيقة ) = 31 ساعة
(2)اطرح :-
سهم قيراط فدان
12 15 23
- 18 15 13
(24+ 12) = 36,36- 18 =18
23 (24+ 14 )=28 ,28 –15 =23
18 ( 23 - 1 ) =22 , 22-13= 9

18 23 9


(3)اجمع :-
ساعة يوم أسبوع
12 6 3
+ 36 12 9
+ 3 7 15
51 25 27 ( 51 ساعة - 48 ساعة)= 3ساعات
3 27 27 (25 يوم +2 يوم ) = 27 يوم
3 6 30 ( 27 يوم – 21 يوم) = 6 أيام
(27اسبوع + 3 أسابيع ) = 30 أسبوع
(4)إذا كان تاريخ ميلاد * هنا * يوم 9/9/2002 م احسب عمرها في أول شهر أكتوبر سنة 2007م .
الحل يوم شهر سنة
1 10 2007
- 9 9 2002
22 ـــــــ 5
(5) إذا كان وزن * نورهان * جرام كيلو جرام
100 12
وبعد مرور 3سنوات أصبح وزنها جرام كيلو جرام
900 20
احسب مقدار الزيادة في وزنها ؟
الحل جرام كيلو جرام
900 20
- 100 12
800 8
(6) اكمل مكان النقط :
ا) 4 أسابيع = ....... ساعة ب) 1.2 يوم = .......ساعة = .....دقيقة
جـ) 72 قيراط = ...... سهم ء) 18 1 فدان = ........ قيراط
هـ) 34 طن = ........كجم و) 2260.5 كجم = ...... ....... ......
ل) 5.7 كم = ........متر م) 300 سم2 = .........لتر
ن) 11000 طن = ....كجم ط) الزمن بين التاسعة صباحا و الثانية ظهرا=.....
مواعيد الطائرات والسفن والقطارات والصلاة :
يبدأ اليوم عند منتصف الليل ( الساعة صفر) ثم الساعة 1 صباحا .....حتي الساعة الحادية عشر صباحا ويليها الساعة 12 ظهرا ثم الساعة 13 ( 1 مساءٌ) .... حتي الساعة 23 (11 مساءٌ)
(7) قام قطار من القاهرة الساعة 25 9 صباحاٌ قاصداٌ مدينة الزقازيق فوصلها
في الساعة 05 2 مساءٌ احسب زمن الرحلة .

أولا : الساعة 05 2 مساءٌ = الساعة 05 14 ( لأنها مساءٌ + 12 )

الحل 05 14 = 65 13
25 9 25 9
40 4
أوجد ناتج :
ث ق س سهم قيراط فدان سم متر كم
49 25 3 13 18 19 70 350 8
32 46 9 17 19 18 65 800 3

سم2 لتر جرام كجم طن سهم قيراط فدان
200 12 225 95 91 7 8 19
700 3 328 913 25 12 9 10

( قسمت قطعة أرض مساحتها 16 8 96 علي ثمانية أشخاص بالتساوي . فما نصيب كل منهم ؟
(9) ولدت تهاني في 20/1/1989م احسب عمرها في 1/1/2009م .
(10) سافر أحمد بالقطار من القاهرة إلي الإسكندرية فإذا قام القطار من

القاهرة 50 8 ووصل الإسكندرية 13 12 احسب زمن الرحلة ؟
(11) المسافة من منزل سعيد إلي مدرسته سم متر كم فإذا قطع منها
سم متر 20 150 1
95 875 احسب المسافة الباقية ؟



الوحدة الثانية الهندسة والقياس



ارسم المثلث ا ب جـ الذي فيه اب =6سم , ب جـ = 4سم ,
جـ ا = 3سم .
أدوات الرسم :- المسطرة - القلم الرصاص - الفرجار
خطوات الرسم :-
1- نرسم القطعة المستقيمة ا ب طولها = 6سم
2- نفتح الفرجار فتحة تساوى 4سم ونركز بسن الفرجار في النقطة ب ثم نرسم قوسا أعلى أو أسفل القطعة المستقيمة اب
3- نفتح الفرجار فتحة تساوى 3سم ونركز بسن الفرجار في النقطة ا ونرسم قوسا في نفس الجهة التي رسمنا فيها القوس الأول فيتقاطع القوسان في النقطة جـ .
نرسم القطعة المستقيمة ب جـ ,القطعة المستقيمة ا جـ نحصل على المثلث ا ب جـ .
جـ
4سم 3سم

ب 6سم أ



1- المثلث الحاد الزوايا
أدوات الرسم :- المسطرة - القلم الرصاص - المثلث القائم
خطوات الرسم :-
1- ارسم مثلث س ص ع حاد الزوايا
2- نضع حافة المسطرة على احد أضلاع المثلث وليكن س ص
3- نضع حافة المثلث القائم الزاوية على حافة المسطرة المنطبقة على الضلع س ص.
4- نحرك المثلث القائم الزاوية حتى تنطبق حافته العمودية على الرأس ع .
5- نرسم القطعة المستقيمة ع د فتكون عمودية على الضلع س ص
ويسمى طول القطعة المستقيمة س ص بارتفاع المثلث
6- بنفس الطريقة نقوم برسم الارتفاعين الآخرين للمثلث




ع ع

هـ و

م


س د ص س د ص
ملحوظة هامة
ارتفاعات المثلث الحاد الزوايا تتقاطع جميعا في نقطة واحدة وتقع داخل المثلث .

2- المثلث المنفرج الزاوية
أدوات الرسم :- المسطرة - القلم الرصاص - المثلث القائم
خطوات الرسم :-
1-ارسم مثلث ا ب جـ منفرج الزاوية في ب .
2- نمد الضلع ب جـ باستخدام المسطرة .
3- نضع المثلث القائم على امتداد الضلع ب جـ .
4- نحرك المثلث القائم الزاوية حتى تنطبق حافته العمودية على الرأس ا.
5- نرسم القطعة المستقيمة ا د فتكون عمودية على الضلع ب جـ
ويسمى طول القطعة المستقيمة أد بارتفاع المثلث .
6- بنفس الطريقة نقوم برسم الارتفاعين الآخرين للمثلث .

أ
هـ

د ب جـ


و
م


ملحوظة هامة
ارتفاعات المثلث المنفرج الزاوية تتقاطع جميعا في نقطة واحدة وتقع خارج المثلث

3- المثلث القائم الزاوية
أدوات الرسم :- المسطرة - القلم الرصاص - المثلث القائم
خطوات الرسم :-
1-ارسم مثلث دهـ و قائم الزاوية في هـ .
2- نضع حافة المسطرة على الضلع د و .
3- نضع حافة المثلث القائم الزاوية على حافة المسطرة المنطبقة على الضلع د و.
4- نحرك المثلث القائم الزاوية حتى تنطبق حافته العمودية على الرأس هـ .
5- نرسم القطعة المستقيمة هـ ز فتكون عمودية على الضلع د و
ويسمى طول القطعة المستقيمة هـ ز بارتفاع المثلث .
6- كلا من الضلعين الآخرين دهـ , هـ و هما ارتفاعي المثلث
د


ز



و هـ
ملحوظة هامة

ارتفاعات المثلث القائم الزاوية تتقاطع جميعا في نقطة واحدة وتكون هي رأس الزاوية القائمة للمثلث .
تمارين :
(1) ارسم المثلث أ ب جـ الذي فيه أ جـ =7سم ، قياس (< أ) = 60˚ ، قياس
(< جـ) = 60˚ . ثم أوجد ارتفاعات المثلث بالقياس .
(2) ارسم المثلث أ ب جـ الذي فيه قياس ( < أ) =90˚ ، و أ ب = 12سم ،
أ جـ = 5سم .ثم ارسم ارتفاعات المثلث ا ب جـ . ثم أوجد بالقياس ( < ب) ، ( < جـ) .
(3) ارسم المثلث س ص ع الذي فيه س ص = 5سم ، س ع = 6سم ، ص ع = 7سم . ثم باستخدام المسطرة والمثلث القائم ارسم ارتفاعات المثلث وأوجد طول كل منها ؟
(4) إذا كانت النسبة بين أطوال أضلاع المثلث أ ب جـ هي أ ب : ب جـ : أ جـ
= 2 : 1.5 : 3 وكان طول ب جـ = 3سم . أوجد أطوال أضلاع المثلث أ ب جـ
ثم ارسم المثلث وأوجد قياسات زواياه .





جـ د




ا ب
 الشكل السابق أب د جـ مستطيل طوله 6 سم , وعرضه = 4 سم
 مساحة المستطيل = الطول × العرض =6×4 = 24 سم2
 نقوم بتقسيم المستطيل أب د جـ إلى مثلثين متطابقين
المثلث أب جـ , المثلث ب جـ د
 مساحة سطح المثلث أ ب جـ = 1 مساحة المستطيل
أ ب د جـ 2
= 1 × ( أب × ا جـ )
2
= 1 × ( 6 ×4 ) = 12 سم2
2
= 1 × طول القاعدة × الارتفاع
2




السؤال الأول :-
أيهما اكبر مساحة قطعة ارض على شكل مستطيل بعداه ( 30م ، 50م) أم مساحة حديقة على شكل مثلث طول قاعدته 150 م وارتفاعه 100 م .
الإجــــابة
مساحة قطعة الأرض = 30 ×50 = 1500 م2
مساحة الحديقة = 1 × 150 × 100= 7500 م2
2
مساحة الحديقة > مساحة قطعة الأرض

السؤال الثاني :-
مثلث متساوي الأضلاع محيطه 27 سم ومساحة سطحه 81 سم2 احسب ارتفاعه .
الإجــــابة
طول ضلع المثلث = 27 ÷3 = 9سم
الارتفاع = 2 × مساحة سطح المثلث
طول القاعدة
= 2 × 81 = 18 سم
9
أسئلة :
(1) مثلث طول قاعدته 8سم ومساحة سطحه 16 سم2 . أوجد ارتفاعه .
(2) أوجد مساحة سطح مستطيل طول قاعته 10سم ، وارتفاعه 6سم .
(3) مثلث متساوي الأضلاع محيطه 15سم وارتفاعه 4سم فكم تكون مساحه سطحه ؟
(4) أيهما أكبر مساحة قطعة أرض علي شكل مثلث طول قاعدته 18م وارتفاعه 5م
أم حديقة مربعة الشكل طول ضلعها 8م .
(5) ارسم المستطيل أ ب جـ د الذي فيه أ ب = 6سم ، ب جـ = 8سم ، نصف ب جـ في س ارسم س ص جـ أ ويقطع أ ب في ص .
أوجد طول س ص ، مساحة سطح المثلث أ ب جـ . ل 5سم ن
(6) في الشكل المقابل :
منشور ثلاثي قاعدتاه علي شكل مثلثان متطابقان
قائما الزاوية وأوجهه الجانبية مستطيلات فإذا كان 3سم 4سم
ق (< م) = ق ( < هـ) = 90˚ المطلوب: م
(أ) احسب مساحة المثلث ل م ن .
(ب) احسب المساحة الجانبية للمنشور الثلاثي القائم . 8سم
(جـ) احسب المساحة الكلية للمنشور الثلاثي القائم .

د
و


هـ





( القطاع الدائري هو جزء محصور بين نصفي قطرين وقوس علي سطح الدائرة )
( كل قطاع دائري له زاوية رأسها في مركز الدائرة تسمي الزاوية المركزية )
( مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول مركز الدائرة = 360 ˚ )
( إذا كانت مساحة القطاع الدائري = نصف مساحة سطح الدائرة فإن الزاوية المركزية لهذا القطاع = 180 ˚ )
النسبة 35% تمثل بقطاع دائري قياس زاويته المركزية = 126˚
= 35100 × 360 ˚ = 126˚



مثال







الإجابة
الأول = 35100 × 360 ˚ = 126˚
الثاني = 25100 × 360 ˚ = 90˚
الثالث = 25100 × 360 ˚ = 90˚
الرابع = 10100 × 360 ˚ = 36 ˚
الخامس= 5100 × 360 ˚ = 18˚